Из локальных осей в глобальную систему

Направляющие косинусы

Уравнения конечного элемента удобно формировать в его локальной системе координат, где одна из осей направлена вдоль элемента. Перед сборкой локальные векторы и матрицы с помощью матрицы поворота преобразуются в компоненты общей глобальной системы координат модели. На рисунке глобальная система x, y показана чёрным цветом, а локальная система элемента x′, y′ — синим.

Для узлов (x₁, y₁) и (x₂, y₂):

L = √(Δx² + Δy²),   c = Δx/L,   s = Δy/L

Блок поворота одной поступательной пары:

R = [ c  s
     -s  c ]

Он переводит глобальные компоненты в локальные: первая строка проецирует перемещение на ось элемента, вторая — на поперечную ось. Для стержня блок повторяется для двух узлов:

T_truss = [ R  0
            0  R ]

У рамного элемента поворот θ_z одинаково измеряется в обеих плоских системах, поэтому между поступательными блоками стоят единицы для вращательных СС.

Преобразование перемещений и матриц

Проект использует соглашение:

u_local = T u_global

Из равенства потенциальной энергии следует:

K_global = T^T K_local T

Так же преобразуется согласованная масса:

M_global = T^T M_local T

Матрица T ортогональна: TT^T = I. Поэтому чистый поворот не меняет собственные значения, симметрию и ранг матрицы — меняется лишь представление в координатах.

Карта СС и наложение вкладов

Рассмотрим цепочку из двух ферменных стержней и трёх узлов. Глобальная карта:

dofMap = [1 2;    % узел 1: ux, uy
          3 4;    % узел 2: ux, uy
          5 6];   % узел 3: ux, uy

element(1).dofs = [1; 2; 3; 4];
element(2).dofs = [3; 4; 5; 6];

Строки 3 и 4 принадлежат общему узлу. Поэтому диагональный блок глобальной матрицы в этом узле равен сумме вкладов обоих элементов. В математической записи для каждого элемента e:

K(d_e, d_e) ← K(d_e, d_e) + K_e

Здесь d_e — вектор element.dofs. Тот же закон применяется к массе.

Почему сборка разреженная

Один элемент соединяет только свои узлы, поэтому влияет на небольшое число пар СС. В большой модели подавляющее большинство глобальных коэффициентов нулевые. Хранить полную квадратную матрицу означает расходовать память на нули.

assembleGlobalMatrices сначала создаёт четыре линейных массива:

• rows — глобальные номера строк;
• columns — глобальные номера столбцов;
• stiffnessValues — коэффициенты жёсткости;
• massValues — коэффициенты массы.

Для каждой пары локальных индексов записывается триплет «строка, столбец, значение». Затем вызов sparse создаёт глобальную матрицу и автоматически суммирует повторяющиеся пары индексов.

[elementRows, elementColumns] = ndgrid(dofs, dofs);
rows(indices) = elementRows(:);
columns(indices) = elementColumns(:);
stiffnessValues(indices) = element.stiffness(:);

globalK = sparse(rows, columns, stiffnessValues, nDOF, nDOF);

Число подготовленных записей растёт как сумма квадратов числа СС элементов, то есть линейно по числу однотипных элементов, а не как квадрат общего числа СС.

Лабораторная 02. Сборка двух стержней в общем узле

Цель — вручную собрать продольный блок жёсткости и увидеть, как два элемента совместно сопротивляются перемещению общего узла.

Исходные данные и обозначения

Координаты X узлов: 0, 1, 2 м; Y = 0. Для обоих элементов A = 0,01 м², E = 200 ГПа, ρ = 7850 кг/м³. Глобальный порядок: [u₁x; u₁y; u₂x; u₂y; u₃x; u₃y].

До запуска: расчёт на бумаге

1. Найдите жёсткость k = EA/L одного элемента. Запишите его продольный блок k·[1 −1; −1 1].
2. Составьте блок для трёх перемещений [u₁x; u₂x; u₃x], сложив вклады элементов в общем узле. Предскажите центральный диагональный коэффициент и связь между узлами 1 и 3.
3. Найдите общую массу двух стержней.

Запуск в Octave

Выполните из корня проекта. Готовая функция печатает результаты; для этой работы изменять её код не требуется.

addpath(pwd);
setup;
addpath(fullfile(pwd, "reference", "examples"));
r = example_02_sparse_assembly();

Работа с результатами

1. В Global DOF map [ux uy] найдите продольные СС 1, 3, 5. В Assembled sparse K прочитайте пересечения этих строк и столбцов и сверьте со своим блоком.
2. По двум напечатанным матрицам global stiffness contribution выпишите слагаемые для K₃₃. Объясните, почему K₁₅ = 0.
3. Объясните нулевые строки 2, 4, 6: какой вид движения горизонтальные ферменные элементы не сдерживают? По суммам строк продольного блока проверьте, создаёт ли одинаковый перенос всех узлов внутренние силы.
4. В Assembled sparse M найдите M₃₃: каждый элемент вносит туда ρAL/3. Выполните приведённую проверку общей переносной массы и сопоставьте с ручным расчётом.

tx = [1; 0; 1; 0; 1; 0];
disp(tx' * r.mass * tx);

Что включить в отчёт

Схему, ручной продольный блок, два вклада в K₃₃ и M₃₃, общую массу и объяснение нулевых коэффициентов.

SPC: ux, uy, thetaZ

Опоры хранятся как маски fixUx/fixUy/fixThetaZ. Типы 1–4 сохраняют прежний смысл; новые типы: 5 — только ux, 6 — только uy, 7 — только thetaZ. Для фермы тип 7 запрещён, а экспорт использует только типы 1, 3 и 2. При смене семейства маски сохраняются; перед переходом к ферме нужно убрать thetaZ. Повторы диагностируются по узлу и СС.

CaseRollerFrame.txt

MPC

Общие ограничения дают разреженное преобразование u = Tq. Ведущие закреплённые СС дают нулевой вклад; цепочки раскрываются в топологическом порядке. Kr = TᵀKT, Mr = TᵀMT, Fr = TᵀF. Матрицы элементов и согласованная масса не меняются. Штрафная жёсткость не используется.

Подробное описание MPC · JSON v3 · CaseMPCFrame.txt · CaseMPCTruss.txt

Концевые освобождения Mz

Подробное описание: глава 4b

Сборка использует шесть фактических СС элемента: поступательные перемещения общие, повороты — общие или внутренние. Исходные матрицы жёсткости и согласованной массы сохраняются; строки не зануляются, статическая конденсация не применяется.

JSON v4 · CaseReleaseStatic · CaseReleaseModal · CaseReleaseTransient