От узловых перемещений к усилиям

Три шага восстановления

Для элемента e функция recoverElementResults выполняет:

u_e = u(dofs_e)

u_local = T_e u_e

q_local = k_local u_local

Первое выражение собирает компоненты по element.dofs, а не по номерам узлов. Второе переводит глобальные перемещения в собственные оси элемента. Третье даёт обобщённые узловые силы, действующие на элемент и сопряжённые его локальным СС.

elementDisplacements = u(element.dofs);
localDisplacements = element.transformation * elementDisplacements;
localEndForces = element.localStiffness * localDisplacements - feLocal;

Что возвращает статический расчёт

solveStatic помещает массив elementResults в структуру результата. Запись каждого элемента содержит:

Стержень типа 112

Локальный порядок перемещений стержня равен [u₁; v₁; u₂; v₂]. Осевая деформация, напряжение и сила вычисляются по формулам:

ε = (u₂ − u₁)/L,   σ = Eε,   N = Aσ

Положительные ε, σ и N означают растяжение, отрицательные — сжатие. При растяжении локальные концевые усилия имеют противоположные знаки:

q_local = [−N; 0; N; 0]

Это не противоречие: скаляр N описывает состояние стержня, а компоненты q показывают направления сил на его двух концах.

Рама типа 113

Для рамного элемента локальные векторы имеют согласованный порядок:

u_local = [u₁; v₁; θ₁; u₂; v₂; θ₂]

q_local = [N₁; V₁; M₁; N₂; V₂; M₂]

Знак каждой силы или момента совпадает с положительным направлением сопряжённой локальной СС. Например, для горизонтальной консоли длиной L и силы P в положительном направлении локальной оси y на свободном конце:

q_local = [0; −P; −PL; 0; P; 0]

Усилия элемента и реакции — не одно и то же

Реакции вычисляются в глобальных координатах для всей модели:

R = K u − F

Концевые усилия относятся к одному элементу и записаны в его локальных осях. В общем узле вклады нескольких элементов сначала поворачиваются обратно (транспонированная T) и суммируются:

K u = Σ T_e^T q_local,e

Затем из внутренних узловых сил вычитается внешняя нагрузка. Поэтому localEndForces нельзя без преобразования и сборки называть реакциями. Они совпадают напрямую только в специальных случаях — например, у единственного горизонтального элемента на закреплённом конце, если там нет приложенной узловой нагрузки.

Лабораторная 07. От перемещений к напряжениям и концевым усилиям

Цель — независимо проверить результаты двух задач через растяжение стержня и равновесие консоли.

Исходные данные и обозначения

Для стержня используются данные схемы лабораторной 03: L = 2 м, A = 0,01 м², E = 200 ГПа, F = 1000 Н. Для консоли L = 0,5 м, A = 10⁻⁴ м², E = 200 ГПа, I = 0,33·10⁻⁸ м⁴, P = 100 Н вверх. Обе модели горизонтальны, их локальные оси совпадают с глобальными.

До запуска: расчёт на бумаге

1. Для стержня найдите σ = F/A, ε = σ/E, ΔL = εL и N = σA.
2. Для консоли запишите равновесие по Y и по моменту относительно узла 1. Найдите R₁y и M₁ с учётом направления силы на схеме.

Запуск в Octave

Выполните из корня проекта. Готовая функция печатает результаты; для этой работы изменять её код не требуется.

addpath(pwd);
setup;
addpath(fullfile(pwd, "reference", "examples"));
r = example_07_result_recovery();

Работа с результатами

1. Из Truss local displacements [u1; v1; u2; v2] найдите u₂ − u₁ и разделите на длину. Сверьте деформацию, напряжение и продольную силу с напечатанными Truss strain, stress и axial force.
2. В Truss local end forces найдите две осевые компоненты. Объясните, почему их знаки противоположны, хотя продольная сила N положительна и стержень растянут.
3. Подпишите шесть компонент Frame local end forces [N1; V1; M1; N2; V2; M2] с единицами Н или Н·м. Сверьте первые три с Frame support reactions, последние три — с нагрузкой свободного конца.
4. Проверьте равновесие: V₁ + V₂ = 0 и M₁ + M₂ + V₂L = 0. По линейности предскажите знаки деформации, напряжения, усилий и реакций при обращении нагрузки.

Что включить в отчёт

Обе схемы, ручные расчёты, таблицу «аналитически — Octave — единицы» и два уравнения равновесия консоли; объяснение знаков концевых усилий.

Все лабораторные одной командой

run_reference_examples последовательно запускает семь примеров и возвращает их результаты в полях с именами функций:

addpath(pwd);
setup;
addpath(fullfile(pwd, "reference", "examples"));
results = run_reference_examples();

Для тихой проверки используйте run_reference_examples(false). Функция запуска определяет корень репозитория по собственному файлу, поэтому после добавления каталога примеров в путь не зависит от текущего рабочего каталога. Исключения не перехватываются: первая нарушенная проверка немедленно останавливает запуск.

Эпюры загруженных элементов

При суммарных локальных интенсивностях qx, qy и концевом векторе f: N(x)=−f₁−qx·x, V(x)=−f₂−qy·x, M(x)=−f₃+f₂·x+qy·x²/2. Постпроцессор учитывает внутренний экстремум M. Скалярные axialStrain, axialStress, axialForce и возвращаемое StressCalc напряжение обозначают средние осевые значения, а не изгибные напряжения. Геометрия перемещений сохраняет интерполяцию конечного элемента.

Результаты с элементными нагрузками экспортируются в JSON v2; старые результаты v1 поддерживаются.

MPC

В строке C коэффициент зависимой СС равен +1, ведущих — −c. Невязка раскладывается как r = supportReactions + Cᵀλ; mpcForces = Cᵀλ, mpcMultipliers = λ. На закреплённой ведущей СС опорная реакция равна r минус сила MPC. Для моды r = Kφ − ω²Mφ, силы соответствуют масштабу сохранённой формы. Поле reactions сохраняет полную невязку. JSON v3 маркирует эти величины раздельно.

Подробное описание MPC · JSON v3 · CaseMPCFrame.txt · CaseMPCTruss.txt

Концевые освобождения Mz

Подробное описание: глава 4b

В статике localEndForces = Klocal*ulocal − flocal вычисляется по фактическим концевым поворотам; освобождённый момент равен нулю с численным допуском без принудительного обнуления. JSON v4 содержит реестр СС и карты концов. Карточки показывают оба поворота, а временные графики позволяют выбрать элемент, конец и thetaZ. Отсутствующий узловой поворот не отображается как нулевой.

JSON v4 · CaseReleaseStatic · CaseReleaseModal · CaseReleaseTransient

Напряжения по геометрии сечения

Для назначенного сечения в статике доступны эпюры σmin и σmax. Выберите элемент, затем положение x/L ползунком или числом: панель показывает ориентированное сечение, распределение напряжений и цветовую шкалу. Красный означает растяжение (+), синий — сжатие (−). Шкала постоянна по длине выбранного элемента. Численные экстремумы и их координаты приведены в карточке элемента; рисунок сечения сохраняется кнопкой Export section SVG.

Для рамы σ(x,η)=N(x)/A−M(x)η/I, для фермы σ=N/A. η отсчитывается от центра тяжести в поперечном направлении плоскости схемы. Учитываются равномерные и линейные распределённые нагрузки; экстремумы ищутся также внутри элемента, независимо от шага отрисовки. Среднее axialStress сохраняет прежний смысл и не заменяет изгибные напряжения.

Ось x направлена от первого узла ко второму. При 0° y — левая нормаль в плоскости схемы, z — к наблюдателю (⊙). Оси образуют правую тройку, отображаются примерно на трети длины и отключаются переключателем Section axes. Полка тавра исходно в направлении +y, швеллер открыт в +z. Поворот на 90° меняет рабочую ось изгиба, на 180° переворачивает профиль.

Расчёт остаётся плоским, без кручения и эксцентриситетов. Сечения влияют на массу и жёсткость также в модальном и переходном расчёте, но новые напряжения выводятся только в статике. Для элементов без геометрии сечения напряжения от изгиба недоступны. Старые задачи и JSON v1–v5 сохраняют прежнее поведение.

JSON v6 и соглашения о знаках · Балка: σmax=750000, σmin=−750000 при x/L=0.5