Глава 6

Собственные частоты и формы

Свободные колебания линейной системы без демпфирования определяются жёсткостью, массой и опорами. Модальный расчёт не использует заданные узловые нагрузки: он ищет движения, которые система способна поддерживать после начального возмущения.

Обобщённая задача на собственные значения

Для свободного движения без внешней силы:

M ü(t) + K u(t) = 0

Подстановка гармонической формы u(t) = φ sin(ωt) даёт:

K φ = λ M φ, λ = ω²

Собственная круговая частота равна ω = √λ, а частота в герцах:

f = ω/(2π)

В solveModal пары вычисляются функцией eig(Kff, Mff), затем сортируются по возрастанию λ.

Почему задача решается только на свободных СС

Как и в статике, сначала строятся fixedDOFs и freeDOFs. Собственная задача формируется для редуцированных матриц:

K_ff φ_f = λ M_ff φ_f

Если оставить закреплённые компоненты в полной задаче искусственным изменением строк, спектр будет зависеть от выбранного численного приёма наложения опор. Редукция сохраняет физические матрицы свободной подсистемы.

validateReducedSystem проверяет положительную определённость K_ff и M_ff. Механизм или безмассовая свободная СС останавливают расчёт до вызова eig.

Возврат к полной форме

Каждый редуцированный собственный вектор расширяется до всех СС модели:

modeShapes = zeros(numberOfDOFs, numberOfModes);
modeShapes(freeDOFs, :) = reducedModeShapes;

Поэтому строки закреплённых СС равны точно нулю, а номер строки снова совпадает с глобальным номером СС. Это важно для последующей визуализации и сравнения форм в узлах.

Масштаб и знак формы

Если φ — собственный вектор, то cφ при любом ненулевом c описывает ту же форму. Абсолютная амплитуда и знак результата eig не являются физическим перемещением.

Два полезных способа нормирования:

по массе: выбрать масштаб так, чтобы φ^TMφ = 1;
для изображения: разделить компоненты на max|φ_i| и при необходимости зафиксировать знак самой большой компоненты.

Разные собственные формы симметричной системы ортогональны по массе и жёсткости:

φ_i^TMφ_j = 0, φ_i^TKφ_j = 0, i ≠ j

Анимация формы в постпроцессоре

Модель и модальный результат можно сохранить в JSON и открыть в автономном постпроцессоре MKE-F без локального сервера и подключения к интернету.

1. Выполните расчёт и экспорт

Откройте терминал в корневом каталоге проекта, запустите GNU Octave и выполните:

addpath(pwd);
setup;

problem = StructFEProblem(fullfile( ...
    'examples', 'cases', 'CaseBeam.txt'));
model = problem.GetAnalysisModel();
result = problem.RunModal();

exportPostprocessorData(model, result, ...
    fullfile('output', 'modal-frame.json'), ...
    struct('title', 'Формы колебаний', ...
           'lengthUnit', 'm', 'prettyPrint', true));

Тот же расчёт через GUI

Из корня репозитория выполните docker compose up --build (либо docker-compose up --build) и откройте препроцессор. Загрузите через Open TXT файл examples/cases/CasePreprocessorModal.txt и нажмите Run analysis. Рассчитанные формы автоматически откроются в постпроцессоре, где их можно анимировать и скачать как JSON.

После выполнения файл modal-frame.json появится в каталоге output. В терминале также можно проверить найденные частоты командой result.frequenciesHz.

2. Откройте результат

Откройте postprocessor/index.html в Chrome, Edge или Firefox.
Нажмите Open JSON и выберите созданный файл output/modal-frame.json. Его также можно перетащить в пунктирную область окна. Готовый пример находится в examples/results/modal-frame.json.
В списке Mode выберите форму. Рядом будут показаны её частота f в Гц и круговая частота ω в рад/с.
Нажмите Play, чтобы запустить анимацию. Кнопки −1 и +1 переходят к соседним формам, Visualization speed меняет скорость показа.
Перемещайте Phase factor от −1 до +1 для ручного просмотра отрицательного пика, недеформированной геометрии и положительного пика. Поле Display multiplier изменяет только видимый масштаб формы.
Щёлкните узел или элемент: в панели Selection появятся нормированные компоненты выбранной формы и их значения в текущей фазе.
Нажмите Export SVG или Export PNG, чтобы сохранить именно текущий кадр вместе с номером формы, частотой, фазой и масштабом.

Просмотрщик согласует произвольный знак каждой формы и нормирует её только для изображения. Множитель изображения изменяет видимую амплитуду, но не численные собственные частоты.

Не физическое время и не перемещение

Двухсекундный цикл и переключатель скорости выбраны для удобства просмотра и не воспроизводят частоту f. Нормированные компоненты формы имеют произвольную амплитуду, поэтому их нельзя читать как перемещения в метрах. Истинные f и ω всегда показаны отдельно.

Экспорт SVG или PNG фиксирует текущую видимую фазу. Под изображением записываются номер формы, f, ω, фазовый множитель и масштабы, поэтому сохранённый кадр остаётся однозначным вне приложения.

Невязка формы

Частота сама по себе не проверяет соответствующий вектор. Для каждой пары вычисляют:

r_i = K_ffφ_i − λ_iM_ffφ_i

Удобна относительная норма, делённая на характерный размер двух слагаемых. Она не зависит от произвольного масштаба формы. Проверять полную строку закреплённой СС этой формулой нельзя: там возникают силы связей, аналогичные статическим реакциям.

Лабораторная 05. Частоты и формы колебаний балки с промежуточной опорой

Цель — связать свободные СС с компонентами собственных форм и проверить частоты через модальную жёсткость и массу.

Балка длиной 2 м, заделка слева, шарнирная неподвижная опора в середине, свободный конец справа. — Два рамных элемента 113 из CaseBeam.txt. Балка непрерывна в узле 2: опора допускает поворот, внутренний шарнир в балку не вводится.

Исходные данные и обозначения

Каждый пролёт имеет длину 1 м. A = 4·10⁻⁴ м², E = 200 ГПа, ρ = 7800 кг/м³, I = 5,33·10⁻⁸ м⁴. Порядок полных компонент: [u₁x; u₁y; θ₁; u₂x; u₂y; θ₂; u₃x; u₃y; θ₃]. В модальном расчёте внешняя сила из входного файла не используется.

До запуска: расчёт на бумаге

По опорам на схеме выпишите закреплённые и свободные СС. Определите число искомых частот.
Из Kφ = ω²Mφ выведите, как изменятся частоты при удвоении всей массы с прежней жёсткостью.

Запуск в Octave

Выполните из корня проекта. Готовая функция печатает результаты; для этой работы изменять её код не требуется.

addpath(pwd);
setup;
addpath(fullfile(pwd, "reference", "examples"));
r = example_05_modal_frame();

Работа с результатами

Сверьте Fixed DOFs и Free DOFs со своей нумерацией. В Full modes scaled to max(abs(component)) = 1 каждый столбец — отдельная форма; подпишите четыре незакреплённые строки физическими компонентами.
Для каждой частоты из Natural frequencies [Hz] вычислите (2πf)². Сравните с соответствующим диагональным числом Phi' * Kff * Phi after mass normalization.
Проверьте, что Phi' * Mff * Phi after mass normalization близка к единичной матрице. Объясните смысл единиц на диагонали и малых внедиагональных значений.
По строкам 6–9 напечатанных форм определите, какая форма соответствует продольному движению, а какие — изгибу. Для одной изгибной формы набросайте направление перемещения свободного конца и поворотов. Масштаб и общий знак формы произвольны; её числа не задают амплитуду вынужденного движения.

Контрольные значения

Закреплены СС 1–5; свободны [6 7 8 9] = [θ₂ u₃x u₃y θ₃], поэтому частот четыре: примерно 23,019; 173,115; 438,199; 1395,881 Гц. Первые три формы изгибные, четвёртая — продольная. Модальная масса — единичная, модальная жёсткость — диагональная с числами (2πf)². Напечатанная максимальная относительная невязка меньше 10⁻¹⁰. При удвоении массы все частоты делятся на √2.

Что включить в отчёт

Схему и список СС, таблицу «номер формы — f — (2πf)² — модальная жёсткость — характер движения», эскиз одной формы и прогноз влияния массы.

Исходный код главы

solveModal.m — редуцированная собственная задача и расширение форм;
postprocessor/js/modal-view.js — нормирование, знак, масштаб и фаза изображения;
validateReducedSystem.m — проверка жёсткости и массы;
example_05_modal_frame.m — невязки, нормирование и ортогональность.

Теория

Henri P. Gavin, Real Modes of Vibration of Building Structures, Duke University, редакция 16 сентября 2025 года: раздел 2, формулы (2)–(5).

MPC

При MPC решается Kr φr = ω²Mr φr, затем φ = Tφr. Число форм равно числу независимых СС. Связи поперечных перемещений промежуточных узлов устраняют паразитные механизмы ферменного стержня, разбитого на несколько конечных элементов. Ненулевой rhs запрещён.

Подробное описание MPC · JSON v3 · CaseMPCFrame.txt · CaseMPCTruss.txt

Концевые освобождения Mz

Подробное описание: глава 4b

Внутренние повороты сохраняют исходную согласованную массу. Условие освобождения в модальном анализе проверяется по K*phi − omega²*M*phi, а в переходном — M*a + K*u − F. Упругий момент K*u отдельно может быть ненулевым. Формы строятся по концевым поворотам, включая формы с неподвижными узлами.

JSON v4 · CaseReleaseStatic · CaseReleaseModal · CaseReleaseTransient